【極限ガチャ】超級 解説 その1

極限ガチャ 超級問題！ その1

本記事では、Webサイト 「おいしい数学」が提供する「極限ガチャ」の超級問題の一つを解説する。

この問題について考えていこう。

考察

これらを式に当てはめてみると、この式は 型の極限問題であることがわかる。
ただもちろん は に近づき、 は に近づくから1ではない。これについてはネイピア数 の定義式がわかりやすい例。

この問題へのアプローチを考える。
型の不定形積分に対する解法と言えば、大きく分けて

1. ネイピア数 の定義式を利用する方法
2. 自然対数を取りロピタルの定理を使う方法

の２つだろう。
それぞれの方法での解き方を解説する

解法その1

問題再掲

の定義式で解きたいわけだが、定義式とは少し一致しないので式変形をする。

eの定義式に変形

eの定義式は のとき

と表される。 のイメージ。
問題のカッコ内を の形に変形しようとすると自然に となる。
指数部分も の形になるように変形すると…

このように変形できる。

極限を求める

底の極限は に収束するため、指数部分の極限を求めればよい。
変形すると

このまま計算しても の極限となってしまうため、 をテイラーの定理で展開してはさみうちを適用する。
のとき テイラーの定理より



( の場合も同様)
指数部分の極限が求まったので…

🍵

解法その2

次の解法として、自然対数を取ってロピタルの定理で解く。

ロピタルの定理の適用 1

まずは求める極限を と置き、自然対数を取る。
logとlimは今回交換可能なので

※ここでは と書いてxの自然対数を指す。

これで のとき、分子は 、分母は となるので 型の不定形極限となり、ロピタルの定理が適用できるようになった。

さて、ロピタルの定理を使う前にに適用条件を確認しよう。
にロピタルの定理を適用するときの条件は以下の4つ。

1. 不定形であること
   かつ であること。(または双方の極限が )
2. 微分可能であること
   aを除く近傍で、 と がともに微分可能であること。
3. 分母の微分が0でないこと
   aを除く近傍で であること。
4. 微分した後の極限が存在すること
   極限 が存在すること。（または に発散すること）

4の是非はまだわからないが、1から3は満たしてそうなのでロピタルの定理を適用する。
分母と分子をそれぞれ で微分すると以下のようになる。

• 分母
  
• 分子
  

元の式に代入すると

この式もまた なのでロピタルの定理の再び適用したいが、このまま分母を微分すると項が増えそうなので上手いこと を消す。

ここで なので無視すると

ロピタルの定理の適用 2

再び の形になっているからロピタルの定理を適用したい。
式はロピタル条件の1から3を満たしているから、ひとまずロピタルの定理を適用する。
(未だ１回目、２回目の適用ともに条件4の是非は不明)

分母と分子を で微分するとそれぞれ以下のようになる。

• 分母
  
• 分子
  

元の式に代入すると

より

よって 対数を外すと

極限が有限な値として存在したので、２回目、１回目のロピタルの定理の条件４を満たす。