極限ガチャ超級問題！その1

この問題について考えていこう。

考察

これらを式に当てはめてみると、この式は型の極限問題であることがわかる。
ただもちろんはに近づき、はに近づくから1ではない。これについてはネイピア数の定義式がわかりやすい例。

この問題へのアプローチを考える。
型の不定形積分に対する解法と言えば、

の２つだろう。
と置けば1番の解き方もできそうだが、少し大変そうなので今回はロピタルの定理を使う方法で解く。
マクローリン展開を使う方法もあるが、今回は記述しない。

まずは求める極限をと置き、自然対数を取る。
logとlimはもちろん交換可能なので

※ここではと書いてxの自然対数を指す。

これでのとき、分子は、分母はとなるので型の不定形極限となり、ロピタルの定理が適応できるようになった。

さて、ロピタルの定理を使う前にに適応条件を確認しよう。
にロピタルの定理を適応するときの条件は以下の4つ。

4の是非はまだわからないが、1から3は満たしてそうなのでロピタルの定理を適応する。
分母と分子をそれぞれで微分すると以下のようになる。

元の式に代入すると

この式もまたなのでロピタルの定理の再び適応したいが、このまま分母を微分すると項が増えそうなので上手いことを消す。

ここでなので無視すると

再びの形になっているからロピタルの定理を適応したい。
式はロピタル条件の1から3を満たしているから、ひとまずロピタルの定理を適応する。
(未だ１回目、２回目の適応ともに条件4の是非は不明)

分母と分子をで微分するとそれぞれ以下のようになる。

元の式に代入すると

より

よって対数を外すと

極限が有限な値として存在したので、２回目、１回目のロピタルの定理の条件４を満たす。