【極限ガチャ】超級 解説 その1

極限ガチャ 超級問題！ その1

本記事では、Webサイト 「おいしい数学」が提供する「極限ガチャ」の超級問題の一つを解説する。

この問題について考えていこう。

考察

これらを式に当てはめてみると、この式は 型の極限問題であることがわかる。
ただもちろん は に近づき、 は に近づくから1ではない。これについてはネイピア数 の定義式がわかりやすい例。

この問題へのアプローチを考える。
型の不定形積分に対する解法と言えば、

1. ネイピア数 の定義式を利用する方法
2. 自然対数を取りロピタルの定理を使う方法

の２つだろう。
と置けば1番の解き方もできそうだが、少し大変そうなので今回はロピタルの定理を使う方法で解く。
マクローリン展開を使う方法もあるが、今回は記述しない。

ロピタルの定理の適用 1

まずは求める極限を と置き、自然対数を取る。
logとlimはもちろん交換可能なので

※ここでは と書いてxの自然対数を指す。

これで のとき、分子は 、分母は となるので 型の不定形極限となり、ロピタルの定理が適応できるようになった。

さて、ロピタルの定理を使う前にに適応条件を確認しよう。
にロピタルの定理を適応するときの条件は以下の4つ。

1. 不定形であること
   かつ であること。(または双方の極限が )
2. 微分可能であること
   aを除く近傍で、 と がともに微分可能であること。
3. 分母の微分が0でないこと
   aを除く近傍で であること。
4. 微分した後の極限が存在すること
   極限 が存在すること。（または に発散すること）

4の是非はまだわからないが、1から3は満たしてそうなのでロピタルの定理を適応する。
分母と分子をそれぞれ で微分すると以下のようになる。

• 分母
  
• 分子
  

元の式に代入すると

この式もまた なのでロピタルの定理の再び適応したいが、このまま分母を微分すると項が増えそうなので上手いこと を消す。

ここで なので無視すると

ロピタルの定理の適用 2

再び の形になっているからロピタルの定理を適応したい。
式はロピタル条件の1から3を満たしているから、ひとまずロピタルの定理を適応する。
(未だ１回目、２回目の適応ともに条件4の是非は不明)

分母と分子を で微分するとそれぞれ以下のようになる。

• 分母
  
• 分子
  

元の式に代入すると

より

よって 対数を外すと

極限が有限な値として存在したので、２回目、１回目のロピタルの定理の条件４を満たす。